Adentramos a un nuevo tema: Serie de Laurent, dice si un función no es analítica en zo, no admite desarrollo mediante una serie de Taylor, pero admite un desarrollo mediante una serie de Laurent.
Entonces se define como el f(z)= a la sumatoria de n=0 hasta el infinito de an*(z-zo) elevado a la (n) mas la sumatoria de n=0 hasta el infinito de bn*(z-zo) elevado a la (-n). Debe cumplirse que f sea analitica en el anillo r1<(z-zo)<r2.
Esta f(z) se divide en dos partes: la parte analitica, con la potencia (n), y de su parte principal, con la potencia (-n).
Puede encontrar mayor información en:
http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-serie-laurent.pdf
https://www.fing.edu.uy/imerl/varcompleja/2006/notas/Cauchy13.pdf
- 07 de Diciembre del 2015:
Para la resolución de los funciones por la serie de Laurent, conllevan un análisis anterior de las series de Taylor, pues su resolución es similar, ahora su análisis depende de la ubicación del zo, si esta dentro fuera del anillo. Siempre dejando en la forma de la serie expresada la función en donde se encuentra el zo.
Para ejemplos mas claros, y procedimiento de resolución:
http://pelusa.fis.cinvestav.mx/tmatos/Estudiantes/LibroMath/PDF/Compleja_3.pdf
http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/cursos/MetodosMatematicos2/2008B/S13_C37.pdf
- 10 de Diciembre del 2015:
Para poder comprender, el Teorema de los residuos; primero debemos manejar los conceptos de:
-Singularidad, un ponto zo es un punto singular de f(z), si f(z) es analitica en algún punto de toda la vecindad de zo, excepto en zo mismo. Existen varios tipos de singularidades como : aislada, punto de ramificación, removible, en el infinito y un polo.
La de mayor importancia es el Polo, que se cumple si el lim cuando z tiende a zo de f(z) *(z-zo) elevado a la n, es diferente de 0, entonces zo es un polo de orden "n".
-Residuos, si la función de f(z) tiene polos zj; el residuo de una función f será igual a el lim cuando z tiende a zj de la derivada nesima de (f(z) *(z-zo) elevado a la n) con respecto a la derivada nesima de z por el factorial inverso de (n-1).
Puede encontrar mayor información en:
http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C05_Residuos.pdf
- 14 de Diciembre del 2015:
El teorema del residuo nos sirve para calcular la integral cerrada de un f(z) el cual será igual a la sumatoria de los residuos de la función por 2(pi)y por el imaginario (i). Solo si f(z) es una función analítica en D, excepto en z1, z2, ..., zj; donde f tiene polos, y sea la curva cerrada simple en D que encierre a los polos.
Existen varias aplicaciones al teorema del residuo:
1.- La aplicación del primer tipo: se puede evaluar integrales reales convergentes de polinomios de coeficientes reales y tal que el grado del denominador polinomio sea por lo menos dos grados mayor al numerador.
2.- La aplicación del segundo tipo: se evalúa integrales de 0 a 2(pi) de funciones de seno y coseno, cambiado de variables trigonométricas a imaginarias.
3.- La aplicación del tercer tipo: conocido como el lema de Jordan, el cual es una especie de interacción matemática entre los dos tipos de aplicaciones anteriores.
Para mayor información, puede consultar las siguientes fuentes bibliográficas:
http://www.ual.es/~edeamo/capitulo7_ac/vc0702.pdf
http://personal.us.es/contreras/t10residuos.pdf
https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dragan/licenc/varcomI-0708-integr-not.pdf
- 17 de Diciembre del 2015:
Empezaron las primeras exposiciones con el tema de funciones periódicas y funciones ortogonales.
una función es cual repite su gráfica o comportamiento después de un lapso continuamente, definido a este lapso como el periodo de la función, en donde una función periódica cumple que: f(t) = f(t + nT).
Las funciones ortogonales, cumplen la condición que la integral acotada en dos puntos determinados del producto de las dos funciones es igual a cero.
Puede encontrar la exposición completa con información mas detallada:
https://docs.google.com/presentation/d/1JZlf-pG2biOe0WfbkgOWXVqECqswbfuS6UF-2Vu1UeE/edit#slide=id.gf8c84f8e1_0_171
- 21 de Diciembre del 2015:
Se concluyo la exposición de las funciones ortogonales, con las función de peso y la definición de un conjunto normal.
La segunda exposición sobre series de Fourier, en donde se trato los siguientes subtemas, la evaluación de los coeficientes, la aproximación mediante una serie finita de Fourier, convergencia y la serie de Fourier de la forma compleja. Se expuso formulas, metodologia y procedimiento para poder llegar a las series de Fourier.
Puede encontrar la exposición completa con información mas detallada:
https://docs.google.com/presentation/d/1U4zdHzn44lRbHblL3P1TOVqXNGjUh-hr6Vzz8lUhiB4/edit#slide=id.gf8b63c906_0_94
- 24 de Diciembre del 2015:
Vacaciones de Navidad.
- 31 de Diciembre del 2015:
Vacaciones de Año nuevo.
Para ejemplos mas claros, y procedimiento de resolución:
http://pelusa.fis.cinvestav.mx/tmatos/Estudiantes/LibroMath/PDF/Compleja_3.pdf
http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/cursos/MetodosMatematicos2/2008B/S13_C37.pdf
- 10 de Diciembre del 2015:
Para poder comprender, el Teorema de los residuos; primero debemos manejar los conceptos de:
-Singularidad, un ponto zo es un punto singular de f(z), si f(z) es analitica en algún punto de toda la vecindad de zo, excepto en zo mismo. Existen varios tipos de singularidades como : aislada, punto de ramificación, removible, en el infinito y un polo.
La de mayor importancia es el Polo, que se cumple si el lim cuando z tiende a zo de f(z) *(z-zo) elevado a la n, es diferente de 0, entonces zo es un polo de orden "n".
-Residuos, si la función de f(z) tiene polos zj; el residuo de una función f será igual a el lim cuando z tiende a zj de la derivada nesima de (f(z) *(z-zo) elevado a la n) con respecto a la derivada nesima de z por el factorial inverso de (n-1).
Puede encontrar mayor información en:
http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C05_Residuos.pdf
- 14 de Diciembre del 2015:
El teorema del residuo nos sirve para calcular la integral cerrada de un f(z) el cual será igual a la sumatoria de los residuos de la función por 2(pi)y por el imaginario (i). Solo si f(z) es una función analítica en D, excepto en z1, z2, ..., zj; donde f tiene polos, y sea la curva cerrada simple en D que encierre a los polos.
Existen varias aplicaciones al teorema del residuo:
1.- La aplicación del primer tipo: se puede evaluar integrales reales convergentes de polinomios de coeficientes reales y tal que el grado del denominador polinomio sea por lo menos dos grados mayor al numerador.
2.- La aplicación del segundo tipo: se evalúa integrales de 0 a 2(pi) de funciones de seno y coseno, cambiado de variables trigonométricas a imaginarias.
3.- La aplicación del tercer tipo: conocido como el lema de Jordan, el cual es una especie de interacción matemática entre los dos tipos de aplicaciones anteriores.
Para mayor información, puede consultar las siguientes fuentes bibliográficas:
http://www.ual.es/~edeamo/capitulo7_ac/vc0702.pdf
http://personal.us.es/contreras/t10residuos.pdf
https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dragan/licenc/varcomI-0708-integr-not.pdf
- 17 de Diciembre del 2015:
Empezaron las primeras exposiciones con el tema de funciones periódicas y funciones ortogonales.
una función es cual repite su gráfica o comportamiento después de un lapso continuamente, definido a este lapso como el periodo de la función, en donde una función periódica cumple que: f(t) = f(t + nT).
Las funciones ortogonales, cumplen la condición que la integral acotada en dos puntos determinados del producto de las dos funciones es igual a cero.
Puede encontrar la exposición completa con información mas detallada:
https://docs.google.com/presentation/d/1JZlf-pG2biOe0WfbkgOWXVqECqswbfuS6UF-2Vu1UeE/edit#slide=id.gf8c84f8e1_0_171
- 21 de Diciembre del 2015:
Se concluyo la exposición de las funciones ortogonales, con las función de peso y la definición de un conjunto normal.
La segunda exposición sobre series de Fourier, en donde se trato los siguientes subtemas, la evaluación de los coeficientes, la aproximación mediante una serie finita de Fourier, convergencia y la serie de Fourier de la forma compleja. Se expuso formulas, metodologia y procedimiento para poder llegar a las series de Fourier.
https://docs.google.com/presentation/d/1U4zdHzn44lRbHblL3P1TOVqXNGjUh-hr6Vzz8lUhiB4/edit#slide=id.gf8b63c906_0_94
Vacaciones de Navidad.
- 31 de Diciembre del 2015:
Vacaciones de Año nuevo.
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